ЗАДАЧА

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объёма выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объёма капиталовложений (X, млн. руб.).

Объем капиталовложений, млн. руб	Объем выпуска продукции, млн. руб.
Х	У
36	85
28	60
43	99
52	117
51	118
54	125
25	56
37	86
51	115
29	68

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Построим линейную модель

Упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные Сортировка).

С помощью программы РЕГРЕССИЯ найдём коэффициенты модели.

Результаты вычислений представлены в таблицах 1-4.

Таблица 1

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9967
R-квадрат	0,9933
Нормированный R-квадрат	0,9925
Стандартная ошибка	2,2257
Наблюдения	10

Таблица 2

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	5901,2703	5901,2703	1191,2818	5,4287E-10
Остаток	8	39,6297	4,9537
Итого	9	5940,9

Таблица 3

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-1,035	2,811	-0,368	0,722	-7,518	5,447
Х	2,314	0,067	34,515	0,000	2,159	2,468

Таблица 4

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное У	Остатки
1	56,80660377	-0,806603774
2	63,74764151	-3,747641509
3	66,06132075	1,938679245
4	82,25707547	2,742924528
5	84,57075472	1,429245283
6	98,45283019	0,547169811
7	116,9622642	1,037735849
8	116,9622642	-1,962264151
9	119,2759434	-2,275943396
10	123,9033019	1,096698113

Коэффициенты модели содержатся в таблице 3 (столбец Коэффициенты)

Т.о., уравнение модели имеет вид:

У_регр = -1,035 + 2,314*Х

Коэффициент регрессии b=2,314, следовательно, при увеличении объёма капиталовложений на 1 млн. руб., объём выпуска продукции также увеличится в среднем на 2,314 млн. руб.

Свободный член a=-1,035 в данном уравнении не имеет реального экономического смысла.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков , построить график остатков.

Остатки модели содержаться в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).

Из отчёта РЕГРЕССИИ находим остаточную сумму квадратов 39,63 и дисперсию остатков 4,95 (таблица 2).

С помощью функции Мастер диаграмм строим график остатков:

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

1) В уравнении линейной модели Y = a + b ∙ X + ε слагаемое ε – случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

2) Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равна нулю, а дисперсия постоянна.

3) Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

4) Распределение случайного члена является нормальным.

1) свойство случайности. Проверку случайности остаточной компоненты проведём по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков: р=5.

Вычислим критическое значение по формуле:.

Схема критерия:

Не вып вып

0 р_кр р

При n=10 найдём =2.

р=5>=2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2). Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически. Проверяем с помощью функции СРЗНАЧ .

По критерию Голдфельда-Квандта проверяем свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты. Выделим в упорядоченных по возрастанию переменной Х исходных данных 4 первых и 4 последних уровня.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ строим модели по первым и последним четырём наблюдениям.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R				0,984227
R-квадрат				0,968702
Нормированный R-квадрат				0,953053
Стандартная ошибка				2,7825
Наблюдения				4
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS	F		Значимость F
Регрессия	1		479,2654		479,2654	61,90214		0,015773
Остаток	2		15,48462		7,742308
Итого	3		494,75
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R				0,352548
R-квадрат				0,12429
Нормированный R-квадрат				-0,31356
Стандартная ошибка				0,636782
Наблюдения				4
Дисперсионный анализ
	df	SS			MS		F		Значимость F
Регрессия	1	0,115104			0,115104		0,283862		0,647452
Остаток	2	0,810983			0,405492
Итого	3	0,926087

В отчёте по РЕГРЕССИИ находим SS₁ = 15,48 и SS₂=0,81. Рассчитаем статистику критерия: 19,09

С помощью функции FРАСПОБР находим критическое значение (уровень значимости , число степеней свободы ) . Сравним F=19,09 > Fкр=19, следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков не выполняется, модель гетероскедастичная.

гомоскедастичная гетероскедастичная

0 F_кр F

3). Независимость ряда остатков. Для проверки используем критерий Дарбина- Уотсона: .Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим= 64,85. Используем найденную программой регрессия сумму квадратов остаточной компоненты 39.63. Таким образом, d=1.64. Полученное значение d=1,64<2, что свидетельствует о положительной корреляции. Сравним её с двумя критическими уровнями и . > , автокорреляция в ряде остатков отсутствует.

Схема критерия:

Не вып Доп пров вып вспом d'=4-d

0 d1 d2 2 4 d

В учебных целях проверим выполнение свойства независимости ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции.

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков

Следовательно,

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение и составляет для данной задачи

Схема критерия:

вып не вып

0 r_кр r

Сравнение показывает, что |r(1)|=0.16<r_кр =0.62, следовательно, ряд остатков не коррелирован.

4). Свойство нормального распределения. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S- критерия.

С помощью функции МАКС и МИН для ряда остатков определим 2.74, -3.75. Стандартную ошибку модели берём из отчёта по РЕГРЕССИИ 2,23. 2,92. Критический интервал (2,67;3,69). 2,92(2,67;3,69), следовательно, критерий выполняется, и остаточная компонента распределена по нормальному закону.

Схема криитерия

Не вып вып не вып

критич. интервал R/S

Вывод: Для данной модели выполняются все условия Гаусса-Маркова, за исключением условия гомоскедастичности, т.е. выполняются не все предпосылки для построения классической линейной регрессионной модели.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t- критерия Стьюдента (0,05).

t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии берём из отчёта (таблица 3). Они равны -0,37 и 34,52 для коэффициентов a и b соответственно. Критическое значение .

, значит, свободный коэффициент а не является значимым.

, значит, коэффициент регрессии b является значимым, его нужно сохранить.

Схема критерия

Не знач знач

0 t_кр |t|

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат берём из отчёта по РЕГРЕССИИ R²=0.993=99.3%. Т.о. вариация объёма выпуска продукции Y на 99.3% объясняется по полученному уравнению вариацией объёма капиталовложений Х.

Значимость уравнения проверяем с помощью F-критерия Фишера. F- статистику берём из отчёта по РЕГРЕССИИ F=1191,3. С помощью функции FРАСПОБР находим 5,32(=5%; k₁=1, k₂=8).

Схема критерия

Не знач знач

0 F_кр F

F=1191,3 > 5,32 => уравнение модели значимо, т.е. зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включённой в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации дополним таблицу остатков столбцом относительных погрешностей ().

Таблица 5

Наблюдение	Предсказанное У	Остатки	Относительная погрешность
1	56,8066	-0,8066	0,0144
2	63,7476	-3,7476	0,0625
3	66,0613	1,9387	0,0285
4	82,2571	2,7429	0,0323
5	84,5708	1,4292	0,0166
6	98,4528	0,5472	0,0055
7	116,9623	1,0377	0,0088
8	116,9623	-1,9623	0,0171
9	119,2759	-2,2759	0,0195
10	123,9033	1,0967	0,0088

С помощью функции СРЗНАЧ найдём 0,0214*100 =2,14% <5%, следовательно, точность модели высокая.

Схема криитерия

точная удовлетворит. Неудовлетворит.

0 5% 15% Е_отн

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера, коэффициента детерминации и проверки точности модель нельзя считать адекватной. Данная модель не пригодна для прогнозирования в реальных условиях.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Х*=43.2. Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение: 98,92. Т.е., если объём капиталовложений составит 43.2 млн. руб., то выпуск продукции составит около 98,92 млн. руб.

Рассчитаем прогнозный интервал:

1). Зададим доверительную вероятность γ=1-α

2). Рассчитаем стандартную ошибку прогнозирования

3). Найдём размах доверительного интервала: tкр(10%, 8)=1,86

4). Найдём границы прогнозного интервала:

U_нижн =98.92-1,35=97,57

U_верх =98,92+1.35=100,27

Т.о., с надёжностью 90% можно утверждать, что если объём капиталовложений составит 43,2 млн. руб., то ожидаемый объём выпуска продукции составит от 97,57 до 100,27 млн. руб.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Для построения чертежа используем функцию Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели тип – линейная; параметры – показывать уравнение на диаграмме.

Покажем на графике результаты прогнозирования.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

· Гиперболическая модель имеет вид: . Она не стандартная.

Для её построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Для построения линейной модели подготовим исходные данные (таблица 6).

Таблица 6

X	1/X	Y
25	0,0400	56
28	0,0357	60
29	0,0345	68
36	0,0278	85
37	0,0270	86
43	0,0233	99
51	0,0196	118
51	0,0196	115
52	0,0192	117
54	0,0185	125

С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	178,4763932
Xn=1/х	-3226,587073

Таким образом, а=178,48; b=-3226,58 => уравнение гиперболической модели имеет вид: .

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения для каждого уровня исходных данных х_i(таблица 7).

Таблица 7

Объем капиталовложений, млн. руб	Объем выпуска продукции, млн. руб.		Yрегр
Х	У	Xn=1/х
25	56	0,0400	49,41
28	60	0,0357	63,24
29	68	0,0345	67,21
36	85	0,0278	88,85
37	86	0,0270	91,27
43	99	0,0233	103,44
51	118	0,0196	115,21
51	115	0,0196	115,21
52	117	0,0192	116,43
54	125	0,0185	118,72

С помощью функции Мастер диаграмм построим график и отразим на нём линию гиперболической модели.

· Степенная модель является стандартной. Её можно построить с помощью программы Мастер диаграмм.

Т.о., уравнение степенной модели имеет вид .

· Показательная модель тоже стандартная. Построим её с помощью Мастер диаграмм.

С помощью функции EXP вычислим b=1,027. Т. о., уравнение показательной модели имеет вид

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Расчётные формулы:

, , найдём по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ; индекс детерминации .

Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка аппроксимации

Степенная модель

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка аппроксимации

Показательная модель

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка аппроксимации

сводная таблица характеристик качества

Параметры

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка

Модель

Линейная

0,993

2,14

Степенная

0,991

2,11

Показательная

0,975

3,98

Гиперболическая

0,972

4,15

Лучшей является степенная модель

У = 2,078Х^1,026

Коэффициент эластичности для нелинейных моделей вычисляем по формуле: .

· Для степенной модели Э=b=2.078 => увеличение объёма капиталовложений на 1 % приводит к увеличению объёма выпуска продукции в среднем на 2,078%.

· Для показательной модели , т.е. зависит от х.

· Для гиперболической модели , тоже зависит от х.

Рассчитаем коэффициенты эластичности для показательной и гиперболической моделей:

Коэффициенты эластичности

Х	Показательная модель	Гиперболическая модель
25	0,666	2,61194
28	0,746	1,82216
29	0,773	1,65532
36	0,959	1,00876
37	0,986	0,95545
43	1,146	0,72542
51	1,359	0,54914
51	1,359	0,54914
52	1,385	0,53295
54	1,439	0,50328

Таким образом,сСогласно показательной модели увеличение объёма капиталовложений на 1% приводит к росту объёма выпуска продукции в среднем от 0,666% до 1,439%. Гиперболическая модель не соответствует экономическому смыслу, т.к. в ней наблюдается убыль коэффициента эластичности с ростом объёма капиталовложений.